A MATEMÁTICA DAS EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Remo Mannarino, 4 de junho de 2020

Entendimento fundamental

Os cálculos matemáticos de natureza algébrica fazem-se com expressões numéricas de contagens, não com números isoladamente considerados.

- Sobre número: os números são neutros - não há números positivos, negativos ou imaginários.

- Sobre expressão numérica: as expressões numéricas indicam contagens, e estas podem ser positivas ou negativas, com exceção da contagem do número de vezes, que não pode ser negativa.

- Sobre multiplicação: não há multiplicadores negativos.

- Sobre equações: as equações prestantes servem para resolver problemas aritméticos, de contagens de módulos, e são todas do primeiro grau.

- Sobre polinômios: os polinômios servem para fazer representações geométricas e resolver problemas geométricos e podem ser do primeiro, do segundo e do terceiro graus.

- Sobre a matemática na ciência: as expressões numéricas na ciência são impostas caso a caso, observando-se sempre que as unidades também se envolvem nos cálculos indicados nas fórmulas e modificam-se em decorrência dos mesmos.

DESENVOLVIMENTO DA TESE

(1)   Números e expressões numéricas

Números são neutros: não há números positivos nem números negativos, muito menos números imaginários.

A matemática “algébrica” faz-se com expressões numéricas de contagens, não com números isoladamente considerados, pois, com números isoladamente considerados, o exercício matemático tem caráter lúdico e pouco relevante.  

Uma expressão numérica de contagem contém, com efeito, um número e uma unidade de contagem. Há três tipos de contagens, a saber: contagem de módulos, contagem de casas e contagem de número de vezes.

A contagem de módulos (= contagem de entes) é a expressão numérica usada nas equações. Por exemplo, 10 laranjas é uma contagem de laranjas. A contagem de módulos é o resultado de uma soma algébrica, podendo ser positiva ou negativa.

A contagem de casas (= contagem de passos), ou medição, é a expressão numérica usada no estudo polinomial das funções algébricas, para definir posições, e nas medições de distâncias. A “casa” pode ser uma unidade tácita, isto é, subentendida (como um passo de um papel quadriculado), ou um passo convencionado, como o metro, a jarda ou a polegada.   
Quando definindo posições, a contagem de casas é também uma soma algébrica e pode ser positiva ou negativa.

(Observação: as contagens, de módulos ou de casas, são consideradas a partir de um marco zero (origem). Desse modo, uma contagem negativa é a imagem, em relação à origem, de uma contagem positiva, e reciprocamente).

A contagem de vezes (= frequência) é usada como multiplicador de contagens de módulos e, eventualmente, de contagens de casas. O multiplicador participa das somas algébricas como mecanismo para nelas adicionar de uma só vez uma mesma contagem, positiva ou negativa, que de outro modo teria de ser adicionada um número de vezes. O multiplicador, que não tem unidade explícita, é neutro (isto é, nunca pode ser negativo) porque não há número de vezes negativo.

(2)   Regras da subtração  

Numa soma algébrica, a retirada de uma contagem positiva corresponde à adição de sua imagem em relação à origem zero (essa operação chama-se de subtração da contagem considerada).

A -B = A + (- B). Um sinal negativo significa subtração (imagem de B).

Reciprocamente, a retirada de uma contagem negativa corresponde à soma da contagem considerada, como imagem que é da sua imagem negativa.

A – (- B) = A + B. Dois sinais negativos significam soma (imagem da imagem, ou contra-imagem, de B).

(3)   Regras da multiplicação

São fundamentais na matemática.

Primeira regra: o multiplicador pode multiplicar qualquer contagem.

Segunda regra: não há multiplicador negativo.

Terceira regra: uma contagem de módulos nunca pode ser usada como multiplicador, isto é, não pode multiplicar a si própria nem multiplicar outra contagem, seja de módulos ou de casas. É por isso que toda equação de módulos é necessariamente do primeiro grau (X², X³ et cetera são impossíveis!).

Quarta regra: uma medição (contagem de casas positiva) pode multiplicar a si mesma ou outra medição, obtendo uma área, e pode multiplicar uma área para obter um volume. Nestes dois últimos casos, o passo ou unidade adotada (casa, centímetro, polegada et cetera) é elevada, respectivamente, ao quadrado e ao cubo, obtendo-se uma expressão numérica com unidade derivada, isto é, casa², centímetro², polegada² et cetera. Ver que as unidades também participam dos cálculos.

Multiplicação com dois fatores negativos

Uma multiplicação com dois fatores negativos, embora impossível na vida quotidiana, pode aparecer no âmbito das operações matemáticas e no trato com polinômios. Nesse caso, um dos sinais indica que o produto é uma contagem negativa e o outro, que a mesma deve ser subtraída, obtendo-se, portanto, um resultado positivo.

Dois exemplos esclarecem.

Exemplo 1: 

No trato dos trinômios do segundo grau, pode ocorrer o seguinte quadrado: 

X² = (-7) ²= (- 7) x (- 7).

Trata-se de subtrair um produto negativo, como a seguir:

X²  = (- 7) x (- 7) = - (7) x (- 7) = - (- 49) = + 49

Exemplo 2: 

Multiplicar (A-5) por (A-8). Essa multiplicação, diga-se de passagem, só é possível na geometria. É bem de ver que estamos multiplicando (A-5) por (A-8), e não (-5) por (-8), o que é impossível (pois, como sabemos, não há multiplicador negativo). Usa-se o mesmo entendimento do exemplo 1. O resultado da multiplicação proposta é uma soma algébrica, sendo o último de seus termos a subtração de uma contagem negativa, que, portanto, deve ser somada:

(A-5) X (A-8) = A²– 8A – 5A – (- 40) = A² – 13 A + 40

Mostro geometricamente a igualdade acima no meu último livro “A matemática pode ser diferente?”.

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(4)   Equações

A equação é um instrumento da aritmética. É, com efeito, um recurso da aritmética que confronta duas somas algébricas de contagens de módulos, obrigadas a serem iguais, para descobrir uma contagem de módulos desconhecida, X, presente em uma ou em ambas as somas algébricas confrontadas.

X é uma contagem de módulos desconhecida e tem um único valor, a ser determinado.

Ver que não há equações prontas, apriorísticas, pois as equações são construídas, caso a caso, para resolver problemas propostos, como o cálculo do resultado de um balanço ou o cálculo da idade de Diofanto.

Cabe a observação adicional de que uma equação de números isolados (em contraposição à equação de contagens de módulos) tem caráter apenas lúdico, sem proveito matemático relevante.  De fato, não quero resolver uma equação que nada significa e que me dá uma resposta assim: X = 84. Com esse “84”, vou fazer o quê? Vou entender o quê?  Quero uma equação de contagens de módulos (por exemplo, uma contagem de anos, de milhões de reais ou de coelhos), que me dê uma resposta nestes termos: “Diofanto, consideradas as informações que constam do seu túmulo,  morreu com 84 anos”, ou “o lucro anual da empresa cujas contas equacionamos foi de 84 milhões de reais”. Quero saber que no terreiro com 200 cabeças e 568 pés há 84 coelhos, e não que no terreiro há um número 84.

Outro ponto extremamente importante é o de que todas as equações são do primeiro grau. Porque X é uma contagem de módulos (= contagem de entes). Não posso multiplicar uma contagem de módulos por outra, nem por si própria. Se há módulos, não há X² ou X³ ou qualquer outra potência de X, nem na vida quotidiana, nem nas equações.

(As equações lúdicas podem ser de qualquer grau, mas é extremamente difícil construí-las e, se construídas, é quase impossível resolvê-las. A única equação lúdica do segundo grau que eu conheço resulta do problema do tipo a seguir: achar dois números cuja soma é 5 e cujo produto é 6. Como todos sabemos, o problema conduz à igualdade: X² – 5X + 6 = 0. Para resolvê-la, é necessário um artifício matemático ou usar a fórmula de Bhaskara. Imagine-se, se possível construir, querer resolver uma equação com X³ ou de grau maior!).

Além disso, não há lugar para Y nas equações, que são operações necessariamente horizontais. A propósito, Y = f (X) é uma fórmula, e não uma equação.

(5) Polinômios

O polinômio (Y) é um recurso da geometria que consiste numa soma algébrica de medições (contagens de casas ou de unidades de medição), de áreas (unidades quadradas) ou de volumes (unidades cúbicas), tendo por base uma medição variável X, conforme a unidade escolhida.

Diferentemente da equação, o polinômio não é um confronto de somas algébricas de contagens envolvendo uma única contagem desconhecida, mas uma fórmula constituída de uma única soma algébrica envolvendo uma contagem que pode assumir um número indeterminado de valores, como em todas as fórmulas. Seu X (tantas contagens de casas quantas se queiram) é um elefante que nada tem a ver com o X da equação, que é uma abóbora (uma solitária contagem de módulos a determinar).

X, nos polinômios, é, pois, uma unidade de medição (implícita ou explícita). X² é o seu quadrado e X³, o seu cubo.                            

Se X for um número de metros:

Na expressão (X + 2), ”2” significa “2 metros”;                               

Na expressão (X + 2) ²= X² + 2X + 8, tanto (X + 2) ² quanto “X²”, “2X” e “8” são áreas dadas em m²;                                                     

Na expressão (X³ + 8), tanto X³ quanto 8 são volumes dados em m³. 

A geometria trabalha com medições, áreas e volumes, de modo que o polinômio prestante (não lúdico) pode ser do primeiro, do segundo e do terceiro graus.

Polinômio do primeiro grau

Um polinômio do primeiro grau é uma soma algébrica de medições que permite construir uma reta numa representação cartesiana.                                

Exemplo: Y = a X + B, onde X e B são medições e “a”, um multiplicador de medições. No gráfico cartesiano, a reta liga pontos definidos por ordenadas, Y, resultantes de sucessivas abcissas X, sendo X e Y medições, isto é, contagens de casas.  

Polinômio do segundo grau

Um polinômio do segundo grau é uma soma algébrica de áreas que permite construir uma parábola na representação cartesiana. 

Exemplo: Y = a X² + B X + C                                                                                                            

Y e “C” são áreas (tanto quanto X²), “B” e X são medições e “a”, um multiplicador de áreas. A parábola liga sucessivos valores de Y (pontos correspondentes a áreas sucessivamente calculadas).

Exercício ilustrativo: calcular Y = (X - 3) ², para X = 5 m.                                            

Sabemos que a resposta é 4 m².                                                                                               

De fato, Y = (X - 3) ² = X² - 6X + 9 (um polinômio do segundo grau).                                   

X² - 6X + 9 =25 m² - 30 m² + 9 m² = 4 m²                                                                                    

Y = Área resultante = área 1 – área 2 + área 3

Polinômio do terceiro grau

Um polinômio do terceiro grau é uma soma algébrica de volumes.                                                                                            

Exemplo: Y =- aX³ + BX² + CX + D.                                                                                            

“a” é um multiplicador de volumes. “B” e X são medições.  “C” é uma área, tanto quanto X², enquanto Y e “D” são volumes (tanto quanto X³, BX² e CX).

Polinômio igualado a zero

O polinômio é uma fórmula, tanto quanto uma fórmula científica. Igualá-lo a zero não enseja uma equação, pois esta é um confronto de duas somas algébricas.

Por exemplo, Y = X² - 5X + 6 é um polinômio que permite construir uma parábola em representação cartesiana. Igualá-lo a zero não introduz uma equação, apenas permite calcular os pontos da parábola onde a mesma cruza o eixo dos X, o que está longe de ser o confronto de duas somas algébricas.

Pode-se igualá-lo a qualquer contagem, de (–) infinito a (+) infinito, sem que isso caracterize a existência de infinitas equações. Em qualquer caso, descobrir o X correspondente a um Y arbitrado pode até ser um exercício matemático (a princípio, sem nenhum interesse), sem que isso signifique resolver uma equação.

Não há, com efeito, equações gratuitas. Para ter uma equação, é preciso ter um problema que enseja uma confrontação de duas somas algébricas obrigadas a serem iguais.

(6)    Matemática na ciência

A fórmula é um recurso da ciência, que em cada um de seus ramos, em particular a física, utiliza expressões numéricas criadas caso a caso, impondo grandezas e respectivas unidades. 

Como na geometria, a física em cada caso indica, pela fórmula, se posso ou não elevar a expressão numérica de uma grandeza física a uma potência ou multiplicá-la pela expressão numérica de outra grandeza física.

Por exemplo, números e unidades se envolvem na fórmula que expressa a lei da gravidade: desse modo, a expressão numérica de uma força, em newtons, resulta de multiplicações de expressões numéricas em metros e quilogramas, como na lei da gravidade:

F = G. m_1. m₂ /r², onde

F = força gravitacional em n                                                                                                   

m₁ e m₂ = massas, em kg                                                                                                               

r = distância, em metros                                                                                                               

G = constante universal da gravitação, em n.m²/kg² (uma unidade suscitada pela fórmula).

As ciências trabalham com fórmulas, não sendo do meu conhecimento nenhuma igualdade imposta a duas somas algébricas construídas cientificamente. Ou seja, entendo que a palavra “equação” é usada na ciência com o sentido de “fórmula”, metaforicamente.

MAIS DETALHES SOBRE A MATEMÁTICA DAS EXPRESSÕES NUMÉRICAS

http://ohomemhorizontal.blogspot.com/ (texto em português)

https://remomannarino.blogspot.com/2020/02/math-may-be-different-introduction-in.html (texto em inglês)